ወደ አውሮፕላን ያለው ቀመር: ምን ለማድረግ? ዓይነቶች አውሮፕላን ስሌቶች

ወደ አውሮፕላን ቦታ በተለያዩ መንገዶች (ወዘተ አንድ ነጥብ እና ቬክተር, ወደ ቬክተር እንዲሁም ሁለት ነጥቦች, ሶስት ነጥቦች,) ውስጥ ሊገለጹ ይችላሉ. በዚህ አእምሮ ውስጥ ጋር, አውሮፕላኑ ቀመር የተለያዩ ዓይነቶች ሊኖሩት ይችላሉ ነው. በተጨማሪም በአንዳንድ ሁኔታዎች ሥር አውሮፕላን ሊሆን ይችላል ትይዩ, perpendicular, intersecting, ወዘተ እና በዚህ ላይ በዚህ ርዕስ ላይ እንነጋገራለን. እኛ አውሮፕላን ብቻ ሳይሆን አጠቃላይ ቀመር ለማድረግ ይማራሉ.

ወደ ቀመር ያለው መደበኛ ቅጽ

R ማዕዘን ሥርዓት xyz ያስተባብራል ያለው የአደባባዩ _3, ነው እንበል. እኛ ቬክተር α መጨረሻ በኩል መነሻ ኦ ይፈታል ይህም በቬክተር α, ይህም, perpendicular ነው ይህም የአውሮፕላን P እንዲቀርቡ መግለጽ.

አንድ የዘፈቀደ ነጥብ ጥ = (x, y, z) ላይ P ያመለክታል. ነጥብ ጥ ምልክት ደብዳቤ ገጽ ያለው ራዲየስ ቬክተር. ወደ ቬክተር ርዝመት α ገጽ = IαI እና Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) ጋር እኩል ነው.

የቬክተር α እንደ አቅጣጫ በቀጥታ ነው ይህ ዩኒት ቬክተር,. α, β ና γ - z እንደቅደም ቬክተር እና አዎንታዊ አቅጣጫዎች መካከል መቀመጣቸውን አንግሎች Ʋ ቦታ መጥረቢያ x, y, ናቸው. ቬክተር QεP Ʋ ላይ አንድ ነጥብ ያለው አቅርቦት ገጽ (ገጽ, Ʋ) = ገጽ (r≥0) ጋር እኩል ነው ይህም የማያቋርጥ ነው.

ከላይ ያለው ቀመር ጊዜ p = 0 ትርጉም ያለው ነው. የራሱ አቅጣጫ, ወደ የቬክተር Ʋ የሚወሰነው ይህ ማለት ምንም እንኳ በዚህ ጉዳይ ላይ ብቻ n አውሮፕላን, P, perpendicular ይሆናል ነጥብ ሆይ ይለቀቃሉ ምንጭ የሆነውን ነጥብ ሆይ (α = 0), እና ዩኒት የቬክተር Ʋ, ይሻገሩ ነበር ምልክት ድረስ. ቀዳሚ ቀመር አውሮፕላናችን P ነው, የቬክተር ቅጽ ላይ ገልጸዋል. ነገር ግን በውስጡ መጋጠሚያዎች አንጻር ነው:

P የሚበልጥ ወይም እኛ በመደበኛ መልክ ያለው የአውሮፕላን ቀመር አግኝቻለሁ 0. ጋር እኩል ነው.

ወደ አጠቃላይ ቀመር

በ መጋጠሚያዎች ላይ ያለውን ቀመር ወደ ዜሮ እኩል አይደለም ማንኛውም ቁጥር ማባዛት ከሆነ, እኛ በጣም አውሮፕላን የሚወስን ይህ ወደ ቀመር ተመጣጣኝ ማግኘት. ይህ የሚከተለውን ቅጽ ይኖረዋል:

እዚህ ላይ, A, B, C - ዜሮ የተለየ በአንድ ቁጥር ነው. ይህ ቀመር የ አውሮፕላን አጠቃላይ ቅጽ እኩልዮሽ ይባላል.

የ አውሮፕላኖች ያለው ስሌቶች. ልዩ ጉዳዮች

ወደ ቀመር በአጠቃላይ ተጨማሪ ሁኔታዎች ጋር ሊቀየሩ ይችላሉ. ከእነሱ መካከል አንዳንዶቹን እንመልከት.

የ የጠቋሚ አንድ 0. ነው ይህ ያመለክታል ማሰብ መሆኑን ወስኗል ዘንጉ በሬ ወደ የአውሮፕላን ትይዩ. በዚህ ሁኔታ ውስጥ, ወደ ቀመር መልክ ይለውጣል: Wu + Cz + D = 0.

በተመሳሳይም, ቀመር መልክ እና የሚከተሉት ሁኔታዎች ጋር ይለያያል:

• በመጀመሪያ, B = 0 ከሆነ, ወደ ዘንጉ ኦዋይ ወደ ትይዩ የሚጠቁም ነበር ይህም መጥረቢያ + Cz + D = 0 ወደ ቀመር ለውጦች.
• በሁለተኛ ደረጃ, C = 0 ከሆነ ቀመር በዛፎች + በ + D = 0 ይለውጠዋል; ይህ አስቀድሞ ወስኗል ዘንግ ኦዝና ለሪኪ ትይዩ በተመለከተ ማለት ነው.
• ሦስተኛ, D = 0 ከሆነ, ወደ ቀመር አውሮፕላኑ ሆይ (ምንጭ) intersects ማለት ነበር ይህም መጥረቢያ + በ + Cz = 0, ሆኖ ይታያል.
• አራተኛ, ከሆነ A = B = 0, Oxy መገለጹ ወደ ማረጋገጥ ይህም Cz + D = 0 ወደ ቀመር ለውጦች.
• አምስተኛ, B = C = 0 ከሆነ, ወደ ቀመር አውሮፕላኑ Oyz ጋር ትይዩ ነው ይህም ማለት መጥረቢያ + D = 0, ይሆናል.
• A = C = 0, ወደ ቀመር ቅጽ Wu + D = 0, ይወስዳል ከሆነ Sixthly, ማለትም, መገለጹ Oxz ሪፖርት ያደርጋል.

ክፍሎች ውስጥ ያለውን ቀመር ውስጥ ቅጽ

ጉዳዩ ውስጥ የት ቁጥሮች A, B, C, ከዜሮ እስከ D የተለየ, ቀመር መልክ (0) እንደሚከተለው ሊሆን ይችላል:

x / ሀ + y / b + Z / ሐ = 1,

በውስጧ አንድ = -D / ሀ, ለ = -D / b, c = -D / ሐ

እኛ ቁርጥራጮች ውስጥ በአውሮፕላን ምክንያት ቀመር እንደ ይቀበላሉ. (0, ለ, 0), እና ኦዝና ለሪኪ - - (0,0, s) ይህ አውሮፕላን መጋጠሚያዎች (ሀ, 0,0), ኦዋይ ጋር ነጥብ ላይ በ x-axis አቋርጠው እንደሆነ መታወቅ አለበት.

ወደ ቀመር x / ሀ + y / b + Z / ሐ = 1, አንድ ለማስተባበር ያለፈች ሥርዓት ወደ ምደባ የአውሮፕላን አንፃራዊ ለመሳል አስቸጋሪ አይደለም የተሰጠው.

መደበኛው ቬክተር ያለው መጋጠሚያዎች

አውሮፕላኑ P ወደ መደበኛ የቬክተር n አጠቃላይ አውሮፕላኑ ውስጥ ቀመር, ማለትም n (A, B, C) ውስጥ ጠቋሚ የሆኑ መጋጠሚያዎች አለው.

መደበኛው የ n መጋጠሚያዎች ለመወሰን እንዲቻል, ይህ አውሮፕላን የተሰጠው አጠቃላይ ቀመር ማወቅ በቂ ነው.

ያለው ክፍሎች ውስጥ ያለውን ቀመር በመጠቀም ጊዜ ቅጽ x / ሀ + y / b + Z / ሐ = 1, አጠቃላይ ቀመር በመጠቀም ጊዜ ማንኛውም ጤናማ ቬክተር ውስጥ መጋጠሚያዎች በጽሑፍ ይችላል እንደ አንድ የተሰጠ አውሮፕላን: (1 / ሀ + 1 / b + 1 / ሐ).

ይህም የመርዳት መደበኛ ቬክተር የተለያዩ ችግሮች ለመፍታት መሆኑ መታወቅ አለበት. በጣም የተለመዱ ችግሮች, ማስረጃ perpendicular ወይም ተመሳሳይ አውሮፕላኖች ውስጥ አውሮፕላኖች ወይም አውሮፕላኖች እና ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ማዕዘን መካከል ያለውን ማዕዘን የማግኘት ተግባር ያካተተ ነው.

ነጥብ መደበኛ ቬክተር ያለውን የአውሮፕላን ቀመር እና መጋጠሚያዎች መሠረት ይተይቡ

አንድ የተሰጠ አይሮፕላን ላይ perpendicular አንድ nonzero የቬክተር n, የተወሰነለትን አውሮፕላን ወደ መደበኛ (መደበኛ) ይባላል.

በ መጋጠሚያ ቦታ ለማዘጋጀት Oxyz (አራት ማዕዘን ሥርዓት ለማስተባበር) እንበል:

• መጋጠሚያዎች ጋር Mₒ ነጥብ (hₒ, uₒ, zₒ);
• ዜሮ ቬክተር n = እኔ B * j + C * K + አንድ *.

አንተ መደበኛ n, perpendicular Mₒ ነጥብ ያልፋል ያለውን አውሮፕላን ቀመር ማድረግ ይኖርብናል.

በ ቦታ ውስጥ ማንኛውም የዘፈቀደ ነጥብ መምረጥ እና M (x, y, z) ያመለክታል. ይሆናል እያንዳንዱ ነጥብ M (x, y, z) ላይ ራዲየስ ቬክተር እንመልከት r * እኔ y * j + z * k, እና አንድ ነጥብ Mₒ ያለውን ራዲየስ ቬክተር (uₒ, hₒ, zₒ) + X = - rₒ = hₒ * i uₒ + * + zₒ * k J. የ የቬክተር MₒM ወደ የቬክተር n, perpendicular መሆን ከሆነ ነጥብ M: በአንድ በተወሰነ አውሮፕላን ንብረት ይሆናል. እኛ scalar ምርት በመጠቀም orthogonality ሁኔታ ጻፍ:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ ጀምሮ, በአውሮፕላን ውስጥ የቬክተር ቀመር ይህን ይመስላል:

[R - rₒ, n] = 0.

ይህ ቀመር ደግሞ ሌላ ቅርጽ ሊኖረው ይችላል. ይህ ዓላማ ለማግኘት ወደ scalar ምርት ባህሪያትን እና ቀመር በግራ በኩል ይለወጣሉ. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. [Rₒ, n] ን እንደ ይወከላል ከሆነ, የሚከተለውን ቀመር ለማግኘት: [r, n] - ሀ = 0 ወይም በአውሮፕላን የሚካተቱትን የተሰጠው ነጥቦች መካከል ራዲየስ-የሚያዛምቱባቸው ውስጥ መደበኛው በቬክተር ላይ ትንበያ ያለውን ሁልጊዜ ይገልጻል ይህም [r, n] = ዎች,.

አሁን ዓይነት ቀረፃ አውሮፕላን የእኛን የቬክተር ቀመር ለማስተባበር ማግኘት ይችላሉ [r - rₒ, n] = 0. ጀምሮ R-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, እና n = እኔ B * j + C * K + አንድ * አለን:

ልክ እኛ ወደ ቀመር ወደ መደበኛው n, perpendicular ነጥብ በኩል በማለፍ አውሮፕላን የተሠራ ነው ያላቸው መሆኑን ስናገኘው:

አንድ * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

አውሮፕላኑ ቀመር እና የቬክተር የአውሮፕላን collinear ሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች መሠረት ይተይቡ

እኛ ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦች መ '(x' y ', z') እና M "(x", y ", z"), እንዲሁም እንደ ቬክተር (ሀ 'አንድ "አንድ ‴) ለመግለጽ.

አሁን ቀመር አስቀድሞ ያለውን ነጥብ M 'እና M "በኩል የሚያልፍ ሲሆን አውሮፕላን, እና አንድ ቬክተር ወደ መጋጠሚያዎች M (x, y, z) ትይዩ ጋር እያንዳንዱን ነጥብ መጻፍ ይችላሉ.

ስለዚህ M'M የሚያዛምቱባቸው x = {x ', y-y'; ZZ '} እና M "M = {x" -X', Y ውድድር y ''; z "-z '} ወደ ቬክተር ጋር coplanar መሆን አለበት ሀ = (ሀ 'አንድ "ይህም ማለት አንድ ‴), በዚያ (M'M M" M, ሀ) = 0.

ስለዚህ ቦታ ውስጥ በአውሮፕላን የእኛ ቀመር ይህን ይመስላል:

የአውሮፕላን ቀመር አይነት, ሦስት ነጥቦች ከተሻገሩ

በተመሳሳይ መስመር የእሱ ያልሆነውን ይህም, (x ‴ ይኑራችሁ ‴, z ‴), '(x (x' y ', z)', y ', z'): ዎቹ ሦስት ነጥቦች አለን እንበል. ይህ በተጠቀሰው ሦስት ነጥቦች በኩል በማለፍ ወደ አውሮፕላን ውስጥ ቀመር መጻፍ አስፈላጊ ነው. ጂኦሜትሪ ንድፈ ብቻ አንድ ብቻ ነው, አውሮፕላን ይህ ዓይነቱ ነገር ይኖራል እንደሆነ ይከራከራሉ. ይህ አውሮፕላን ነጥብ intersects ስለሆነ (x 'y', z '), የራሱ ቀመር ቅጽ ይሆናል:

እዚህ ላይ, A, B, እና C በአንድ ጊዜ ዜሮ የተለዩ ናቸው. በተጨማሪም የተሰጠው አውሮፕላን (x "y", z ") እና (x ‴, y ‴, z ‴) ሁለት ተጨማሪ ነጥቦች intersects. ከዚህ ጋር በተያያዘ ሁኔታዎች በዚህ ዓይነት መካሄድ አለበት;

አሁን አንድ ወጥ የሆነ ሥርዓት መፍጠር ይችላሉ ስሌቶች (መስመራዊ) ውስጥ የማይታወቁ ዩ, v, w ጋር:

በእኛ ሁኔታ x ውስጥ, y ወይም z ቀመር (1) ያረካል ይህም የዘፈቀደ ነጥብ ይቆማል. (1) ቀመር እና እኩልታዎችን (2) እና ከላይ በስእል ላይ የተመለከተው እኩልዮሾችን (3) ሥርዓት የሆነ ሥርዓት ከግምት በማስገባት ቬክተር የሚያጠግብ N (A, B, C) nontrivial ነው. ሥርዓት መወሰኛ ዜሮ ስለሆነ ነው.

ቀመር (1) እኛ አግኝተዋል, ይህ አውሮፕላን ውስጥ የለውጥ እኩልዮሽ ነው. 3 ነጥብ እሷ በእርግጥ ይሄዳል; እንዲሁም ለማረጋገጥ ቀላል ነው. ይህን ለማድረግ, በመጀመሪያው ረድፍ ውስጥ ንጥረ በ መወሰኛ ማስፋፋት. አሁን ያለውን ባህርያት መወሰኛ መካከል (x 'y', z »), (x" y ", z"), (x ‴, y ‴, z ‴) አውሮፕላናችን በተመሳሳይ ሦስት መጀመሪያ ያለፈች ነጥብ intersects መሆኑን ይከተላል. በመሆኑም በእኛ ፊት ተግባር ወሰንን.

የ አውሮፕላኖች መካከል Dihedral አንግል

Dihedral አንግል በቀጥተኛ መስመር የሚመነጩ ሁለት ግማሽ-አውሮፕላኖች በ በተቋቋመው አንድ የከባቢያዊ የጂኦሜትሪ ቅርጽ ነው. በሌላ አነጋገር, ወደ ግማሽ-አውሮፕላኖች የተገደበ ነው ይህም ቦታ አካል.

እኛ የሚከተሉትን ስሌቶች ሁለት አውሮፕላን አለን እንበል:

እኛ እናውቃለን መሆኑን የቬክተር N = (A, B, C) እና አስቀድሞ አውሮፕላኖች መሠረት N¹ = (A¹, H¹, S¹) perpendicular ናቸው. በዚህ ረገድ, በእነዚህ አውሮፕላኖች መካከል የሚገኝበት የሚያዛምቱባቸው N እና N¹ እኩል ማዕዘን (dihedral) መካከል φ ያለውን አንግል. በ scalar ምርት የተሰጠው ነው:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

በትክክል ምክንያት

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

በዚያ 0≤φ≤π ግምት በቂ ነው.

አቋርጠው በእርግጥ ሁለት አውሮፕላኖች, ቅጽ ሁለት አንግል (dihedral): φ ₁ እና φ _2. የእነሱ ድምር (φ ₁ + φ ₂ = π) π ጋር እኩል ነው. ያላቸውን ፎርሙላዎችን በተመለከተ, ይህም ማለት, cos φ ₁ = -cos φ ₂ ያላቸውን ፍጹም እሴቶች እኩል ናቸው, ነገር ግን እነዚህ የተለያዩ ምልክቶች _ናቸው. ወደ ቀመር ውስጥ (0) በቅደም A, B እና -ትክክለኛ, -B ስለ C እና -C, በ እኩልዮሽ ይተካል ከሆነ, እኛም ለማግኘት, ቀመር cos φ ውስጥ φ, ብቻ አንግል ተመሳሳይ አውሮፕላን ይወስናል = NN ¹ / | N || ኤን ¹ | ይህ π-φ ይተካል.

የግንባታዎችን አውሮፕላን ያለው ቀመር

አይሮፕላን perpendicular ይባላል, ይህም መካከል ያለውን ማዕዘን 90 ዲግሪ ነው. ከላይ ከቀረቡት ቁሳዊ በመጠቀም, እኛ ሌላው, perpendicular አውሮፕላን ያለውን ቀመር ማግኘት ይችላሉ. እኛ ሁለት አውሮፕላኖች አለን እንበል: ምሳር + በ + Cz + D = 0, እና + A¹h V¹u S¹z + D = 0. እኛ እነርሱ orthogonal ነን ማለት እንችላለን cos = 0 ከሆነ. ይህ መሆኑን NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 ማለት ነው.

ትይዩአዊ አውሮፕላን ያለው ቀመር

ይህ የጋራ ውስጥ ምንም ነጥቦች የያዘ ሲሆን ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ጠቅሷል.

ሁኔታ ትይዩ አውሮፕላኖች (ያላቸውን እኩልዮሽ ከዚህ በፊት ባለው አንቀጽ ጋር ተመሳሳይ ናቸው) መሆኑን ለእነርሱ perpendicular የሆኑ በሽተኞቹን N እና N¹, collinear. ይህ የሚከተሉትን ሁኔታዎች የተመጣጣኝነት ከተሟሉ ማለት ነው:

የ A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

የ ተመጣጣኝ ውሎች ተስፋፍቷል ከሆነ - ሀ / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ይህ ተመሳሳይ ውሂብ በአውሮፕላን ያመለክታል. ይህ + D¹ = 0 አንድ አውሮፕላን ለመግለጽ + Cz + D = 0 እና + A¹h V¹u S¹z በ መሆኑን ቀመር መጥረቢያ + ማለት ነው.

አይሮፕላን ነጥብ ያለው ርቀት

እኛ (0) የተሰጠ ነው በአውሮፕላን P አለን እንበል. ይህ መጋጠሚያዎች ጋር ነጥብ ከ ርቀት ማግኘት አስፈላጊ ነው (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. ; አንተ ይህን ለማድረግ አውሮፕላን II በመደበኛ መልክ ውስጥ ያለውን ቀመር ማምጣት ይኖርብሃል:

(Ρ, v) ገጽ (r≥0) =.

በዚህ ሁኔታ ውስጥ, ρ (x, y, z) n ገጽ ላይ በሚገኘው የእኛን ነጥብ ጥ, ያለውን ራዲየስ የቬክተር ነው - n የ ዜሮ ነጥብ ከ በወጣው: የግንባታዎችን ርዝመት ነው, ቁ - በአንድ አቅጣጫ ዝግጅት ነው ያለውን ዩኒት ቬክተር ነው.

አንድ ነጥብ ጥ = (x, y, z) መካከል ያለው ልዩነት ρ-ρº ራዲየስ ቬክተር, n አባል እና ጥ ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ነው እንደዚህ ያለ ቬክተር, ወደ ትንበያ ፍጹም እሴት የትኛው ላይ የተሰጠ ነጥብ ራዲየስ ቬክተር ቁ ጥ ከ ማግኘት አስፈላጊ የሆነውን ርቀት መ, እኩል = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P ወደ:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ነገር ግን

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = ገጽ (ρ ^0, v).

ስለዚህ, ስናገኘው

መ = | (ρ ^0, v) ገጽ |.

አሁን ጥ አውሮፕላን P ₀ እስከ ርቀት መ ለማስላት እንደሆነ ግልጽ ነው, ለመደበኛ አመለካከት የአውሮፕላን ቀመር መጠቀም አስፈላጊ ነው, ገጽ በስተግራ ወደ ፈረቃ, እና x, y የመጨረሻ ስፍራ, z ምትክ (hₒ, uₒ, zₒ).

በመሆኑም መ ያስፈልጋል መሆኑን የሚያስከትለውን አገላለጽ ፍጹም እሴት እናገኛለን.

ቋንቋ መለኪያዎች በመጠቀም, እኛ ግልጽ ያገኛሉ:

መ = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

በተጠቀሰው ነጥብ ጥ ₀ ቬክተር መካከል ከዚያም, ምንጭ እንደ የአውሮፕላን P ማዶ ላይ ከሆነ ρ-ρ ⁰ እና ቁ ነው , አንድ obtuse አንግል በመሆኑም:

መ = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

በ U ተመሳሳይ በኩል በሚገኘው አመጣጥ ጋር በማጣመር ነጥብ ጥ _0, ወደ አጣዳፊ አንግል ይፈጠራል ጊዜ ሁኔታ ነው:

p = d = (ቁ ρ-ρ ^0,) - (ρ ^0, v)> 0.

ውጤት መሆኑን የቀድሞው ጉዳይ በሁለተኛው ላይ (ρ ^0, v)> ገጽ, (ρ ^0, v)

እና ታካኪ የአውሮፕላን ቀመር

tangency Mº ነጥብ ላይ ወለል ወደ አይሮፕላን በተመለከተ - ላዩን ላይ ይህን ነጥብ በኩል መዞ ከርቭ ሁሉ በተቻለ ታካኪ የያዘ አንድ አውሮፕላን.

የ ታካኪ የአውሮፕላን ታካኪ ነጥብ Mº ያለውን ቀመር ውስጥ ያለው ቀመር የ f (x, y, z) = 0 (uº, hº, zº) ይሆናል ይህን የወለል ቅጽ ጋር:

የ F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

ላይ ላዩን በግልጽ z = f (x, y) ከተዋቀረ ከዚያም ታካኪ አውሮፕላን እኩልዮሽ ይገለጻል:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

ሁለት አውሮፕላኖች መካከል መገናኛ

ውስጥ ሶስት-ልኬት ቦታ መደራረብ እና የተገጣጠመ አይደለም መሆኑን 'እና P' ሁለት አውሮፕላኖች P የተሰጠ ለማስተባበር ስርዓት (አራት ማዕዘን) Oxyz ነው. አጠቃላይ እኩልዮሽ ይገለጻል ማዕዘን ሥርዓት ለማስተባበር ውስጥ ነው ማንኛውም አውሮፕላን, ጀምሮ, N + ለ x '+ y' "አንድ = 0 እና እንዲሁም n የ እኩልታዎችን A'x + V'u S'z + ዲ የተገለጹ ናቸው '' ብለው ያስቡ "z + D" ጋር = 0. በዚህ ሁኔታ ውስጥ እኛ የአውሮፕላን P 'እና መደበኛ n "(ሀ" ለ "C") አውሮፕላኑን P መካከል' መካከል የተለመደ n '(ሀ' B 'C') አላቸው. አውሮፕላናችን ትይዩ አይደሉም እና የተገጣጠመ ነው እንጂ እንደ እንግዲህ እነዚህን የሚያዛምቱባቸው collinear አይደሉም. n '≠ n "↔ (ሀ' B 'C') ≠ (λ * እንዲሁም", λ * ውስጥ ", λ * C"), λεR: በሒሳብ ቋንቋ በመጠቀም, ይህ ሁኔታ እንደ የተጻፈ ይቻላል አላቸው. ወደ መገናኛ P ላይ ውሸት ይህም በቀጥታ መስመር ' "∩ P እና P, በዚህ ሁኔታ በአንድ = P ውስጥ, ደብዳቤውን አንድ የተመላከቱ ይሆናል'" ይሁን.

እና - አንድ መስመር ነጥቦች (የጋራ) አውሮፕላኖች ፒ 'እና P "አንድ የብዙ ያካተተ. ይህ መስመር አንድ አባል ማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች, በተመሳሳይ ቀመር A'x + V'u S'z + D '= 0 እና የ "x + B' + C y" z + D ን "= 0 ለማርካት መሆን አለበት ማለት ነው. ይህ ነጥብ መጋጠሚያዎች የሚከተሉትን እኩልዮሾችን አንድ የተወሰነ መፍትሄ ይሆናል ማለት ነው:

ውጤቱ እኩልዮሾችን የዚህ ሥርዓት መፍትሄ (አጠቃላይ) መገናኛው P 'እና P "ያለውን ነጥብ ሆኖ እርምጃ ይህም መስመር ላይ ነጥቦች በእያንዳንዱ ያለውን መጋጠሚያዎች ለመወሰን, እና ለማስተባበር ሥርዓት Oxyz (አራት ማዕዘን) ቦታ ውስጥ አንድ መስመር ይወስናሉ ነው.