አንድ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን ድምርን. አንድ ትሪያንግል ውስጥ አንግሎች ድምር ላይ ያለው እርጉጥ

የ ማዕዘን ሦስት ጎኖች (ሦስት አንግሎች) ያለው አንድ ጎነ ነው. በጣም ብዙ ጊዜ, ወደ ክፍል ተቃራኒ የመገናኛዎች የሚወክሉ ይህም ካፒታል ፊደሎችን, ተጓዳኝ አነስተኛ ፊደላት ይወከላል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እኛ ትሪያንግል ውስጥ አንግሎች ድምር ጋር እኩል ነው የሚወስን ይህም የጂኦሜትሪክ ቅርፆችን, theorem, እነዚህን አይነቶች ላይ ይመልከቱ.

አይነቶች ትልቁ አንግሎች

ሦስት ጫፎች ጋር ጎነ የሚከተሉትን አይነቶች:

• ይህም ሁሉ ማዕዘን የጠሩ ናቸው, ይዘት በመብረቅ;
• ማዕዘን አንድ ቀኝ ማዕዘን ያለው, ይህም ፈጠረ ጎን, ቅልጥሞች የሚያመለክተው, እና ቀኝ ማዕዘን ወደ ተቃራኒ ዝንባሌ ነው ጎን ያለውን hypotenuse ይባላል;
• obtuse ጊዜ አንድ ማዕዘን obtuse ነው ;
• የማን ሦስተኛው ሁለቱ ወገኖች እኩል ናቸው, እና ላተራል ተብለው ናቸው, እና የባለሦስትዬሽ: - አንድ መሠረት ጋር ማዕዘን;
• በመንደፍ ሦስት እኩል ጎኖች ያላቸው.

ንብረቶች

ትሪያንግል እያንዳንዱ ዓይነት ባሕርይ የሆኑ መሰረታዊ ባህሪያት ለመመደብ:

• ታላቅ ጎን ሁልጊዜ የበለጠ ማዕዘን, ወይም በግልባጩ ነው ተቃራኒ;
• እኩል እኩል-ትልቁ ፓርቲ ተቃራኒ ማዕዘን, ወይም በግልባጩ ናቸው;
• በማንኛውም ማዕዘን ውስጥ ሁለት አጣዳፊ አንግሎች አሉት;
• ማንኛውም ውስጣዊ አንግል ከጎን ሳይሆን በውስጥም የሚበልጥ በውጭው አንግል;
• ማንኛውም ከሁለት አንግሎች ድምር ሁልጊዜ ከ 180 ዲግሪ ነው;
• የውጭ አንግል ከእርሱ ጋር mezhuyut አይደሉም ይህም ሌሎች ሁለት ማዕዘኖች, ድምር ጋር እኩል ነው.

አንድ ትሪያንግል ውስጥ አንግሎች ድምር ላይ ያለው እርጉጥ

የ እውንታ እርስዎ Euclidean አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል ያለውን የጂኦሜትሪ ቅርጽ, ሁሉ ማዕዘኖች ሲደመሩ ከሆነ, ከዚያም ድምር 180 ዲግሪ ይሆናል ብለዋል. ይህንን እርጉጥ ለማረጋገጥ ጥረት እናድርግ.

እኛ የመገናኛዎች KMN ጋር የዘፈቀደ ማዕዘን አለን እንመልከት. M ጫፍ መያዝ ይሆናል በመላ መስመር ቀጥተኛ ትይዩ KN (እንኳ ይህን መስመር Euclid ይባላል). ነጥቦች K እና አንድ መስመር ሚነሶታ የተለያዩ ጎኖች ከ ዝግጅት ነው ስለዚህ ይህ ነጥብ አንድ መታወቅ አለበት. እኛ የውስጥ እንደ ትይዩ ናቸው ይህም ቀጥተኛ CN እና ኤምኤ ጋር በማጣመር ሚነሶታ intersecting ለማቋቋም crosswise መዋሸት ይህም አጣዳፊ ሕመም እና MUF, ተመሳሳይ አንግል ያገኛሉ. ከዚህ ጀምሮ M እና N ያለውን የመገናኛዎች በሚገኘው ትሪያንግል, ያለውን ማዕዘን ድምር ወደ CMA አንግል መጠን ጋር እኩል እንደሆነ ይከተላል. ሁሉም ሦስት አንግሎች KMA እና ሲ ኤስ መካከል አንግሎችን ድምር ጋር እኩል የሆነ ድምር የያዘ. ውሂብ intersecting ላይ ውስጣዊ አንግሎች አንጻራዊ ፊትና ትይዩ መስመሮች CL እና CM ኤም ኤ ስለሆነ, ያላቸውን ድምር 180 ዲግሪ ነው. ይህ እርጉጥ ያረጋግጣል.

ውጤት

ከላይ እርጉጥ ከላይ ያለውን የሚከተለውን ጀግኖችን አንድምታ: እያንዳንዱ ማዕዘን ሁለት አጣዳፊ አንግሎች አሉት. ይህን ለማረጋገጥ, ይህን በጂኦሜትሪ ቁጥር አንድ ብቻ አጣዳፊ አንግል ያለው እንደሆነ እንገምት. እናንተ ደግሞ ማዕዘን ማናቸውም ስለታም አይደሉም ማሰብ እንችላለን. በዚህ ሁኔታ ሲታይ እኩል ወይም 90 ዲግሪ ይበልጣል ያህል ስፋት ይህም ቢያንስ ሁለት ማዕዘን, መሆን አለበት. ነገር ግን ከዚያ ማዕዘን ድምር 180 ዲግሪ ይበልጣል. ከእንግዲህ ወዲህ, ምንም ያነሰ - አንድ ትሪያንግል ያለውን የካልኩለስ ድምር አንግሎች መሠረት 180 ° ጋር እኩል ነው ነገር ግን ይህ ሊሆን አይችልም. ይህ ማስረጃ ማቅረብ ነበረበት ነገር ነው.

ንብረት ውጪ ማዕዘን

ውጫዊ የሆኑ አንድ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን, ድምር ምንድን ነው? የዚህ ጥያቄ መልስ ሁለት መንገዶች አንዱን ተግባራዊ በማድረግ ማግኘት ይችላሉ. የመጀመሪያው ከእናንተ እያንዳንዱ ነቁጥን ላይ አንዱ ይወሰዳል ማለት ነው, ሦስት ማዕዘን ናቸው ያለውን ማዕዘን, ድምር ማግኘት እንደሚያስፈልጋቸው ነው. ሁለተኛው እርስዎ ጫፎች ላይ ስድስት ማዕዘን ድምር ማግኘት ያስፈልገናል መሆኑን ያመለክታል. የመጀመሪያው ተምሳሌት መጀመሪያ ዕወቅ. ከሁለቱ ለእያንዳንዱ አናት ላይ - በመሆኑም ማዕዘን ስድስት በውጨኛው ማዕዘን ይዟል. እነሱ ቋሚ ናቸው በመሆኑ እያንዳንዱ ጥንድ, ራሳቸውን መካከል እኩል አንግሎች አሉት:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

በተጨማሪም, አንድ ትሪያንግል ውጨኛ ጥግ ከእርሱ ጋር mezhuyutsya ያልሆኑ ሁለት ውስጠኛ, ድምር ጋር እኩል እንደሆነ የታወቀ ነው. ስለዚህ,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

ከዚህ ጀምሮ እያንዳንዱ ነቁጥን አጠገብ አንድ አንዱ ይወሰዳል ናቸው ያለውን የውጭ ማዕዘን, ድምር ጋር እኩል ይሆናል ይመስላል:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

ማዕዘን ድምር 180 ዲግሪ እኩል መሆኑን እውነታ እንዳለ ሆኖ, በዚያ ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° ይከራከራሉ ይቻላል. ይህ መሆኑን ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° ማለት ነው. ሁለተኛው አማራጭ ጥቅም ላይ ከዋለ, ስድስት ማዕዘን ድምር ሁለት ጊዜ ላቅ የሚበልጥ ይሆናል. አንድ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን ድምር ማለትም ውጭ ይሆናል:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

ቀኝ ማዕዘን

አንድ የቀኝ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን ድምር ጋር እኩል ነው ምን, ደሴት ነው? መልሱ አንድ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን 180 ዲግሪ ድረስ ማከል መሆኑን ይገልጻል ይህም የካልኩለስ, ከ: እንደገና ነው. አንድ ጤናማ የእኛ የተጨመረ እንደሚከተለው (ንብረት): ስለታም አንግሎች 90 ዲግሪ እስከ ለማከል አንድ ቀኝ ማዕዘን ላይ. እኛ በውስጡ ትክክለኛነት ማረጋገጥ. የተሰጠው ማዕዘን KMN, ይህም ∟N = 90 ° ይኑሩ. በዚያ ∟K ∟M = + 90 ° ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው.

በመሆኑም ማዕዘን ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° ድምር ላይ theorem መሠረት. በዚህ ሁኔታ ውስጥ ∟N 90 ° = እንደሆነ ይነገራል. ይህ ∟K ∟M + 90 ° = 180 ° ይንጸባረቅበታል. 90 ° = 90 ° - ይህ ∟K ∟M + = 180 ° ነው. ይህ ምን ብለን ማረጋገጥ ይገባናል ነው.

አንድ የቀኝ ትሪያንግል ላይ ከላይ ባህርያት በተጨማሪ, እነዚህን ማከል ይችላሉ:

• እግራቸው ላይ ይተኛል ስለታም የሆኑ አንግሎች;
• ቅልጥሞች ማንኛውም የሚበልጥ ማዕዘን ላይ hypotenuse;
• የ hypotenuse ይልቅ ቅልጥሞች ድምር;
• 30 ዲግሪ ማዕዘን ላይ ተቃራኒ ውሸቶች ይህም ትሪያንግል ስለ እግር, ወደ hypotenuse ግማሽ, ፍሬዋን ግማሽ ጋር እኩል ነው.

የ የጂኦሜትሪ ቅርጽ ሌላ ንብረት እንደ በፓታጎሪያን ቲየረም መለየት ይቻላል. እሷ በ 90 ዲግሪ (ማእዘን) አንድ ማዕዘን ጋር ትሪያንግል ውስጥ, ቅልጥሞች መካከል ርቢዎች ድምር ወደ hypotenuse ስኩየር ጋር እኩል እንደሆነ ይከራከራሉ.

አንድ የባለሦስትዬሽ ትሪያንግል ውስጥ አንግሎች ድምር

ቀደም ብለን አንድ የባለሦስትዬሽ ማዕዘን ሁለት እኩል ወገኖች የያዙ ሦስት ጫፎች ጋር ጎነ, ነው አለ. ይህ ንብረት በጂኦሜትሪ ቁጥር የታወቀ ነው: መቀመጫውንም ላይ አንግሎች እኩል. ይህን ማረጋገጥ እንመልከት.

መቀመጫውንም - የባለሦስትዬሽ, አክሲዮን የሆነውን ትሪያንግል KMN, ይውሰዱ. እኛ ∟K = ∟N ማረጋገጥ ይጠበቅባቸዋል. ስለዚህ እኛ በዚያ ኤምኤ እንገምት - KMN የእኛን ትሪያንግል ያለውን bisector ነው. እኩልነት የመጀመሪያ ምልክት ጋር በኢካ ትሪያንግል ትሪያንግል MNA ነው. ማለትም, መላምት በ CM = ኤም, ኤምኤ, ∟1, = ∟2 የተለመደ ጎን መሆኑን የተሰጠ MA ምክንያቱም - ይህን bisector. ሁለት ሦስት መአዘኖች እኩልነት በመጠቀም, አንድ ∟K = ∟N መከራከር ይችላል. በመሆኑም theorem መሆኑ ነው.

ነገር ግን እኛ አንድ ማዕዘን (የባለሦስትዬሽ) መካከል ያለውን ማዕዘን ድምር ነው ምን ላይ ፍላጎት ናቸው. በዚህ ረገድ ይህ የራሱ ባህሪያት ስለሌለው, ከዚህ ቀደም የተወያየንባቸውን theorem ጀምሮ ይጀምራል. ይህ ማለት እንችላለን, ነው ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ወይም 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N ሆኖ). አንድ ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን ድምር ላይ theorem ቀደም እንዲረጋገጥ እንደ ይህ ንብረት ማረጋገጥ አይችልም.

አንድ ትሪያንግል ማዕዘኖች ላይ ተደርጎ ንብረቶች በስተቀር, እንዲሁም እንደ አስፈላጊ መግለጫዎች አሉ:

• ውስጥ አንድ በመንደፍ ትሪያንግል ቁመት, ግርጌ ዝቅ ነበር; ይህም ስለ እኩል ጎኖች እና መካከል ያለውን አንግል ሚዲያን bisector በተመሳሳይ ነው ጸደ ወደ ዘንጉ በውስጡ መሰረትን;
• የጆሜትሪ ቁጥር ጎን ላይ ይካሄዳል የትኛው ሚዲያን (bisector, ከፍታ), እኩል ናቸው.

በመንደፍ ማዕዘን

በተጨማሪም መብት ተብሎ ነው, ሁሉም ፓርቲዎች እኩል ናቸው ያለውን ማዕዘን ነው. ስለዚህም ደግሞ እኩል እና አንግሎች. እያንዳንዳቸው 60 ዲግሪ ነው. ይህን ንብረት መሆኑን እንመልከት.

እስቲ አንድ ማዕዘን KMN እንዳላቸው እንገምት. እኛ ኪሎ = HM = KH እናውቃለን. ይህ በመንደፍ ማዕዘን ∟K = ∟M = ∟N ውስጥ ግርጌ በሚገኘው ማዕዘን ንብረት መሠረት, ማለት ነው. + = 180 ° አንድ ማዕዘን theorem ∟K + ∟M ∟N መካከል አንግሎች ድምር መሠረት, በመሆኑ, ከዚያም x 3 = 180 ° ∟K ወይም ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. በመሆኑም የተጨመረ መሆኑ ነው. ከላይ እርጉጥ መሰረት ከላይ ማስረጃ ጀምሮ የታየው እንደ ማዕዘን ድምር አንድ በመንደፍ ትሪያንግል ምክንያት, ሌላ ማንኛውም ትሪያንግል ያለውን ማዕዘን ድምር እንደ 180 ዲግሪ ነው. እንደገና ይህ እርጉጥ የሚያረጋግጡ አስፈላጊ አይደለም.

አንድ በመንደፍ ትሪያንግል ባሕርያት አንዳንድ ባህሪያት አሁንም አሉ:

• ሚዲያን bisector አንድ በጂኦሜትሪ አኃዝ ውስጥ ቁመት ተመሳሳይ, እና ርዝመት (ሀ x √3) እንደ የሚሰላው ነው: 2;
• ይህ ጎነ ብዙ ክብ circumscribing ከሆነ, ከዚያም ራዲየስ (ሀ x √3) ጋር እኩል ይሆናል: 3;
• አንድ ክበብ በመንደፍ ማዕዘን ውስጥ ተቀርጾ ከሆነ, በውስጡ ራዲየስ (ሀ x √3) ይሆናል: 6;
• (A2 x √3): የ የጂኦሜትሪ ቁጥር ስፋት ያለው ቀመር በ ይሰላል 4.

Obtuse ማዕዘን

ትርጉም በማድረግ, አንድ obtuse በመብረቅ ትሪያንግል, በውስጡ ማዕዘኖች አንዱ 90 እስከ 180 ዲግሪ መካከል ነው. ነገር ግን ስለታም ያለውን የጂኦሜትሪ ቅርጽ ሌሎች ሁለት ማዕዘን, እነሱ 90 ዲግሪ የማይበልጥ አይደለም የሚል ድምዳሜ ላይ ሊሆን እንደሚችል እውነታ ይሰጠዋል. ስለዚህ, አንድ ትሪያንግል theorem ያለውን ማዕዘን ድምር አንድ obtuse ትሪያንግል ውስጥ ያለውን ማዕዘን ድምር በማስላት ላይ ይሰራል. ስለዚህ, በደህንነት ትሪያንግል ያለውን obtuse ማዕዘን ድምር 180 ዲግሪ ነው ከላይ theorem ላይ የተመሠረተ, ማለት ይችላሉ. እንደገና, ይህ theorem ዳግም ማረጋገጫ አያስፈልገውም.